การแก้สมการตรีโกณบางประเภทโดยใช้ สมการเส้นตรงช่วย

                      by  APLUS A+
             ในการแก้สมการตรีโกณส่วนใหญ่ต้องการคำตอบเป็นมุม เมื่อได้คำตอบแล้วมักต้องหาคำตอบใน 1 รอบวงกลม
ล้วตอบในรูปทั่วไป ซึ่งส่วนใหญ่มีหลักง่ายๆคือมักสามารถแก้ได้โดยแยก factor ออกแล้วหาคำตอบหรือบางที
ถ้ามี function หลายๆอย่าง  มักต้องแปลงให้เป็น  function เดียวกันก่อน เช่น sin อย่างเดียว cosอย่างเดียวหรือ แปลง tan ให้เป็น sin , cosแต่มีสมการบางชนิดสามารถทำได้เร็วขึ้นเมื่อใช้ สมการเส้นตรงเข้าช่วยโดยจากพื้นฐานที่เรารู้ว่า  sin  คือ  yและ cos คือ x ดังนั้นมองสมการตรีโกณเป็นสมการเส้นตรง และ plot ลงบนแกนเดียวกันกับ สมการวงกลม
1 หน่วยซึ่งเป็นสมการกำเนิดของตรีโกณ จุดตัดของทั้งสองคือคำตอบ

ตัวอย่าง 1จงแก้สมการ  sinx=cosx
solution          เปลี่ยนสมการให้เป็น  สมการเส้นตรงคือ y=x แล้ว plot  ตัดกับวงกลม 1 หน่วยดังภาพ
 

จะเห็นได้ว่าเส้นแดง ตัดวงกลมที่จุด 45 องศา และ 225 องศา ดังนั้นใน 1 รอบจะมี 2 คำตอบ เวลาตอบเป็นคำตอบ
ทั่วไปต้อง บวก 2n(pi) ทุกคำตอบ
ตอบ  45,225

ตัวอย่างที่ 2  จงแก้สมการ  sinx+cosx=1
solution เปลี่ยนสมการเป็น y+x = 1 plot สมการเส้นตรง โดยหาจุดตัดแกน x (แทน y เป็น 0 ได้ x=1) จุด (1,0)
ในทำนองเดียวกันหาจุดตัดแกน y ได้จุด (0,1) และวาดกราฟได้ดังภาพ
 

สมการที่วาดได้ตัดวงกลมที่จุด มุม 0 องศาและ90องศาตามลำดับ
ตอบ 0,90

การหาค่าของ function   trigonometry ใน quadrant ต่างๆ

      ปกติเราจะทราบค่าของ function sinX  cosX  tanX  ......ใน quadrant 1 แต่พอจะหาของ     quadrant อื่นๆ      หรือมุมที่เป็นลบ (วัดมุมตามเข็มนาฬิกา)  เราต้องใช้ co-function    ที่เสียเวลาและจำยาก วันนี้มาลองหัดหาค่ามุมจากการดูแผนภาพจะง่ายกว่า
 

      เริ่มจากรูปนี้จะเห็นว่า ถ้าทำบ่อยๆมุมที่เกี่ยวข้องกับ   30   60  จะเกี่ยวข้องกับคำตอบที่เป็น   1/2      และ ต่างกันที่เครื่องหมาย
เท่านั้นซึ่งเป็นบวกลบต่างกันไป  ลองดูครับ เช่น มุม 30 ให้ลากเส้น
จากจุดบนโค้งไปตั้งฉากแกน y (เส้นแดง)  จะได้ค่า sin30 ซึ่ง
เท่ากับ1/2 โปรดสังเกตว่าเส้นตัดตรงกึ่งกลางค่า  0 กับ 1 พอดี  และถ้าลากจากจุดมาตั้งฉากแกน x  (เส้นนำเงิน) คำตอบจะได้   ซึ่งเส้นจะตัดตรงใกล้ 1 มากกว่า

    สรุปคือ ดูเครื่องหมาย,แล้วดูค่า ถ้ากึ่งกลางตอบ 1/2  ถ้าใกล้ ขอบวงกลมก็ตอบ
     มุม 60 เส้นแดง ใกล้ขอบ ตอบ  sin60 =    เส้นน้ำเงิน ตัดครึ่งพอดี ตอบ cos60=1/2
ตัวอย่างที่ 1
 
 

 มุม 150 หาค่า sin ดูเส้นแดงตกครึ่งหนึ่งพอดี ตอบ 1/2
 หาค่า cos ดูเส้นเขียว ตกใกล้ขอบและอยู่แดนลบ ตอบ  -ุม 
 300 องศา หรือ -60 องศา หาค่า   sin  ดูเส้นแดง เป็นลบและ
 ใกล้ขอบ     ตอบ -
 หาค่า  cos  ดูเส้นเขียว จะตกกึ่งกลางพอดี แดนบวก ตอบ 1/2

                เทคนิกแรกที่จะเสนอคือการหารากที่ n  โดยใช้การแบ่งวงกลมใน trigone ช่วย
มันจะง่ายและเร็วมาก มีขั้นตอน 4 ขั้น คือ
1. ทำให้ค่าที่จะหารากอยู่ในรูปของ x(a+bi) a,b ต้องอยู่บนวงกลม 1 หน่วย
2.    นำ (a,b) ไปประมาณค่าเป็นมุมเริ่มต้น แล้วนำมุมที่ได้หารด้วย  n
           เป็นมุมเริ่มต้นอันใหม่
3.  แบ่งวงกลมเป็น n ส่วนโดยมีจุดในข้อ 2 เป็นจุดเริ่มต้นแรกและแบ่งไปจน
   กลับมาครบที่เดิม
4. คำตอบคือ เอารากที่ n ของ x คูณกับ ค่าที่หาได้จากวงกลม